مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات

I) المجموعة IN : 
تسمى المجموعة IN مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية .
ونكتب :
IN = {0; 1; 2; 3; 4; 5.......}i .
العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم .
ويرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة ب *IN
ونكتب :IN* = {1; 2; 3; 4; 5.......}1 . 
نستعمل الرمز : (INا 4) للدلالة على ان 4 هو عنصر من المجموعة.      
نستعمل الرمز : 
(INا 1,7) للدلالة على ان 1,7 ليس عنصر من المجموعة وذلك لانه ليس عددا صحيحا طبيعيا.
II) الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية : 
كل مضاعف ل2 يسمى عدد زوجي والأعداد الصحيحة الطبيعية الاخرى تسمى اعداد فردية.
الأعداد الصحيحة الطبيعية الزوجية هي التي تكتب على شكل 2k حيث k عدد صحيح طبيعي، والاعداد الفردية هي الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تكتب على شكل 2k+1 او 
(2k-1) حيث k عدد صحيح طبيعي .
امثلة : 
12 عدد زوجي لان 6 
× 2 = 12
138 عدد زوجي لان 
69 × 2 = 138
III) قواسم عدد صحيح طبيعي - مضاعفات عدد صحيح طبيعي : 
تعريف : 
b و a  عددان صحيحان طبيعيان،
يكون العدد b قاسم ل 
a اذا وجد عدد صحيح طبيعي n بحيث nا × = b وفي هذه الحالة نكتب b a ونقرا b يقسم a.
اذا كان b قاسم ل a فان a هو مضاعف ل b
امثلة : 
5I75 لان 15 × 5 = 75      3I36 لان 12 × 3 = 36  
12 × 15 = 180 اذن 15 قاسم ل 180 اذن 180 هو مضاعف ل15.     
مضاعفات 3 :                      M3 = {0 ;3 ;6 ;9 ;.......}1  
مضاعفات 7 :         M7 = {0; 7; 14; 21; 28; 35;.......}1   
مجموعة قواسم 24 : D24 = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}1
مجموعة قواسم 21 :                       D21 = {1; 3; 7; 21}1
  • يكون العدد a قابل للقاسمة على 4 اذا كان العدد المكون من رقم وحداته وعشراته في هذا الترتيب مضاعفا للعدد 4.
 مثال : 7836 يقبل القسمة على 4 .

5104 يقبل القسمة على 4 
لان 4 مضاعف ل 4 . 
  • يكون العدد a قابل للقاسمة على 2 اذا كان رقم وحداته هو 0 او 2 ; 4 ; 6; 8 .
  • يكون العدد a قابل للقاسمة على 5 اذا كان رقم وحداته هو 0 او 5 .
  • يكون العدد a قابل للقاسمة على 3 اذا كان مجموعة ارقامه مضاعف ل 3 . 
 مثال : 117 يقبل القسمة على 3 لان 9 = 7 + 1 + 1 و 9 مضاعف ل 3 . 

  • يكون العدد a قابل للقاسمة على 6 اذا كان يقبل القسمة على 2 و 3 .
مثال : 7836 يقبل القسمة على 6 لانه يقبل القسمة على 2 وايضا يقبل القسمة على 3
وذلك لان رقم وحداته هو 6 ومجموعة ارقامه 24 = 7 + 8 + 3 + 6 هو مضاعف ل 3 . 
  
  • يكون العدد a مضاعف ل 9 (اي يقبل القسمة على 9) اذا كان مجموع ارقامه مضاعف ل 9 . 
مثال : 243 يقبل القسمة على 9 لان 9 = 3 + 4 + 2 و9 مضاعف ل 9 . 

ملاحظات :
  • كل عدد صحيح طبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي.
  • العدد 0 مضاعف لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية.
  • العدد 1 قاسم لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية.
  • مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي.
  • مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.
  • مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي.
IV) الأعداد الأولية 
تعريف : 
a عدد صحيح طبيعي غير منعدم.
يكون العدد a أوليا اذا كان له قاسمان فقط (اي يقبل القسمة على عددين فقط) هما العدد 1 والعدد a .
الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي : 
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71;97 73; 79; 83; 89;  
  • هذه الأعداد أولية لانها لا تقبل القسمة الا على العدد 1 وعلى نفسها ويكون الخارج عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم. 
  • هناك ما لا نهاية من الاعداد الأولية، وهذا مثال للاعداد المحصورة بين 0 و 100.  
ملاحظة 1 : 
يجب عدم الخلط بين عدد أولي وعدد فردي.
ملاحظة 2 :
كل عدد أولي يخالف 2 (اي ماعدا العدد 2) هو عدد فردي والعكس غير صحيح (اي ليس كل عدد فردي هو عدد أولي مثلا العدد 9 عدد فردي وليس عددا أوليا).
قاعدة : 
يكون العدد a أوليا اذا كان لا يقبل القسمة على كل الاعداد الاولية P بحيث :
مثال : 
هل 571 عدد أولي ؟. 
العدد 571 هو عدد أولي لانه لا يقبل القسمة على الاعداد : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23. (الاعداد الاولية الاصغر من او تساوي 23,89).
V) تفكيك عدد غير أولي إلى جداء عوامل أولية : 
كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ويخالف 1 هو اما أولي او يكتب على شكل جداء من عوامل أولية وهذه الكتابة تسمى "التفكيك الأولي"
أمثلة 1 : 
حدد التفكيك الأولي للاعداد : 
436; 5024; 10816
 ؟.
1) لدينا : 
ولدينا 109 عدد أولي بتطبيق القاعدة السابقة اي لا يقبل القسمة على الأعداد الأولية
اذن التفكيك الأولي ل436 هو : 
2) لدينا : 
اذن : 
ولدينا 157 عدد أولي (بتطبيق القاعدة السابقة). 

3) لدينا : 
اذن : 
أمثلة 2 : اوجد التفكيك الأولي للاعداد :  
a = 128 000 000 000 000
b = 64 000 000 000 000 000
لدينا :
ولدينا : 
اذن : 
لدينا : 
ولدينا : 
اذن : 

VI) المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين : 
1) المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين : 
قاعدة المضاعف المشترك الأصغر لعددين : نأخذ بعد التفكيك الأعداد المشتركة المرفوعة لأكبر أس والغير المشتركة.
مثال : المضاعف المشترك الأصغر ل 100 و 25. 
نقوم بالتفكيك 
اذن المضاعف المشترك الأصغر ل 100 و 25 هو 
تعريف : 
a و b عددان صحيحان طبيعيان غير منعدمان.
أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b يسمى المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b ونرمز له ب : 
ا(a;b)اPPMC  ا(Plus Petit Multiple Commun).
أمثلة : (ناخذ المثل السابق) حدد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 25 و 100. 
الحل : 
مضاعفات 100 : M100 = {100 ;200 ;300.............}1   
مضاعفات 25 :   M25 = {25 ;50 ;75 ;100 ;125.....}1   
وبالتالي : 100 = ا(100;25)اPPMC
توضيح طر يقة تحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث :1( a≥b ). 
نقوم بتحديد مضاعفات a و b مع المقارنة بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد b هل هو مضاعف للعدد a ايضا فإن لم يكن كذلك ، نتابع البحث حتى نجد مضاعفا للعدد b ويكون من مضاعفات العدد a ايضا، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b .
مثال اخر : حدد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 18.
الحل :
مضاعفات 12 : M12 = {12 ;24 ;36 ;48 ;60 ;72 ;.............}1   
مضاعفات 18 : M18 = {18 ;36 ;54 ;72 ;90 ;...................}1   
اذن 36 = ا(18;12)اPPMC
2) القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين : 
قاعدة القاسم المشترك الأكبر : هي الأعداد المشتركة المرفوعة لأصغر أس.  
مثال : 

اذن القاسم المشترك الأكبر ل 100 و 25 هو 
تعريف :
أكبر قاسم مشترك غير منعدم للعددين a و b يسمى القاسم المشترك الأكبر لهما ونرمز له ب ا(a;b)اPGDC ا(Plus Grand Diviseur Commun). 
أمثلة : (ناخذ المثل السابق) حدد قواسم 100 ثم قواسم 25 ثم استنتج أكبر قاسم مشترك للعددين 25 و 100. 
الحل : 
مجموعة قواسم العدد 100 هي : D100 = {1; 2; 4; 5; 10; 2025; 50; 100}1
مجموعة قواسم العدد 25 هي : D25 = {1; 5; 25}1
وبالتالي فان أكبر قاسم مشترك للعددين 100 و 25 هو 25 = ا(100;25)اPGDC

توضيح طر يقٌة تحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين :
لتحديد قواسم العدد 18، نبحث عن جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة ( اي المنتمية الى *IN ) المحصورة بين 1 و 18 والتي اذا ما قمنا بقسمة العدد 18 عليها حصلنا على خارج ينتمي الى IN.

مثال اخر :حدد قواسم 12 ثم قواسم 18 ثم استنتج أكبر قاسم مشترك للعددين 12 و 18. 
الحل : 
قواسم العدد 12 هي : D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}1
قواسم العدد 18 هي : D18 = {1; 2; 36; 9; 18}1
أكبر قاسم مشترك للعددين 12 و 18 هو = ا(18;12)اPGDC

ملاحظة : الاعداد 5; 7; 8; 9; 10; 11 ليست قواسم للعدد 12 لان خارج قسمتها هي اعداد عشرية ولا تنتمي الى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية IN




درس-جمع-وطرح-الأعداد-العشرية-النسبية

























مدونة تعلم

مدونة تعلم mourad ,,,,,

هناك 5 تعليقات:

  1. شكرا على الافادة

    ردحذف
  2. شكراا جزيلا لكم فقط استفسار هل هذا كل شيء في الرياضيات

    ردحذف
  3. شكرا جزيلا على الملخص لكن لدي سؤال مهم من فضلكم دكر في برنامج الرياضيات المقادير والقياس( مقارنة و قياس المساحات و سعات ..... الخ لكن لا توجد هنا) أرجو الرد و شكرا

    ردحذف
  4. مشكوووووووووووور

    ردحذف